જો $a \times r = b + \lambda a$ અને $a \cdot r = 3,$ જ્યાં $a = 2i + j - k$ અને $b = -i - 2j + k$ હોય,તો $r$ અને $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જેના માટે રેખાઓ $\vec{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j})$ અને $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + \mu(\hat{j} + 2\hat{k})$ એકબીજાને છેદે છે,તે અચળ કિંમત $(\lambda + \mu)$ બરાબર છે (જ્યાં $\lambda$ અને $\mu$ પ્રાચલો છે).

ધારો કે $\bar{a}, \bar{b}$ અને $\bar{c}$ એ અનુક્રમે $2, 3$ અને $4$ માન ધરાવતા સદિશો છે. જો $\bar{a}$ એ $(\bar{b}+\bar{c})$ ને લંબ હોય,$\bar{b}$ એ $(\bar{c}+\bar{a})$ ને લંબ હોય અને $\bar{c}$ એ $(\bar{a}+\bar{b})$ ને લંબ હોય,તો $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$ નું માન શોધો.

ધારો કે $a = i + 2j + k$, $b = i - j + k$, અને $c = i + j - k$. $a$ અને $b$ ના સમતલમાં રહેલા એક સદિશનો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. તો, આવો એક સદિશ કયો છે?

જો $A(3,2,3)$, $B(1,4,6)$ અને $C(7,4,5)$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ત્રણ શિરોબિંદુઓ હોય, તો તેના $D$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ અને બાજુ $DC$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ શૂન્યેતર સદિશો છે જેથી $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ને લંબ છે,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=1$ અને $\bar{b} \cdot \bar{c}=1$. એક શૂન્યેતર સદિશ $\bar{d}$ એ $\bar{a}+\bar{b}$ અને $2\bar{b}-\bar{c}$ સાથે સમતલીય છે. જો $\bar{d} \cdot \bar{a}=1$ હોય,તો $|\bar{d}|^2=$ (નોંધો કે જ્યારે આપણે $\bar{d}=x(\bar{a}+\bar{b})+y(2\bar{b}-\bar{c})$ લખીએ ત્યારે $x$ અને $y$ એ પ્રાચલો છે)