જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ અસમતલીય સદિશો હોય અને બિંદુઓ $P_1 = \lambda \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$, $P_2 = \vec{a}-\lambda \vec{b}+3 \vec{c}$, $P_3 = 3 \vec{a}+4 \vec{b}-\lambda \vec{c}$, અને $P_4 = \vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ સમતલીય હોય, તો $\lambda$ ની એક કિંમત શોધો.

જો સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ હોય,તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$, અને $\vec{d}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ ચાર સદિશો છે. ધારો કે $l=\vec{b} \cdot \vec{c}$ અને $m=\vec{b} \cdot \vec{a}$ છે. તો અદિશ ત્રિગુણિત $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સદિશો $\vec{a}=(1+t) \hat{i}+(1-t) \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=(1-t) \hat{i}+(1+t) \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-t \hat{j}+\hat{k}$,$t \in R$ એવા છે કે $\alpha, \beta, \gamma \in R$ માટે,$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0$. તો,$t$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ છે:

જો શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે અનુક્રમે $6i$,$6j$ અને $k$ હોય,તો ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ કેટલું થાય?

જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ હોય,તો $\left| \begin{matrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{matrix} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.