જો $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$ હોય,તો $x^3 f\left( \frac{1}{x} \right)$ શું થાય?

ધારો કે $f(x) = \max(\sin x, \cos x)$ અને $g(x) = \min(\cos x, \sin x)$. $h(y) = f(x)y^2 + ay + g(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. જો સમીકરણ $h(y) = 0$ ને તમામ $x \in R$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો હોય,તો $a$ ની કિંમતોનો સંપૂર્ણ ગણ શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow (0,1)$ એક સતત વિધેય છે. તો,નીચેનામાંથી કયા વિધેય(ઓ) અંતરાલ $(0,1)$ માં કોઈ બિંદુએ શૂન્ય મૂલ્ય ધરાવે છે?

જો $f(x)$ એ $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{a x^{10} + b x^8 + c x^6 + d x^4 + e x^2 + 12 x + 15}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોય અને $f(4) = -4$ હોય, તો $f(-4)$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$ ધ્યાનમાં લો. $x$ ના એવા કેટલા ધન પૂર્ણાંકો છે જેના માટે $f(x)$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય?

જો $N$ એ તમામ ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ દર્શાવે છે અને જો $f: N \rightarrow N$ એ $f(n) = n$ ના ધન ભાજકોનો સરવાળો તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય, તો $f(2^k \cdot 3)$, જ્યાં $k$ એ ધન પૂર્ણાંક છે, તે શું થશે?