यदि I = lim_{x rightarrow 0} sin left( frac{e | vedclass

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Question

(C) हम पहले साइन फलन के अंदर की सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}$ $e^{x} = 1 + x + \fra

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का अस्तित्व है और यह $0$ के बराबर है

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(C) हम पहले साइन फलन के अंदर की सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-x-1-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}$ $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \dots) - x - 1 - \frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}$ $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{6} + \dots}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} (\frac{x}{6} + \dots) = 0$ चूंकि फलन $\sin(u)$, $u=0$ पर सतत है, इसलिए हमारे पास है: $I = \sin(L) = \sin(0) = 0$

यदि $I = \lim_{x \rightarrow 0} \sin \left( \frac{e^{x}-x-1-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}} \right)$ है, तो सीमा

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{2 x}-2^{x+1}+2-\cos 2 x}{x^2} = $

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n=$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3|x|-x}{|x|-2x} - \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x} =$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\frac{{\sum\limits_{r = 0}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {1 + r + {r^2}} \right)} }}{n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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