यदि I = int_{0}^{1} frac{dx}{1+x^{pi / 2}} है | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ दिया गया है।चूंकि $1 < \pi / 2 < 2$, इसलिए $x \in (0, 1)$ के लिए, $x^2 < x^{\pi / 2} < x^1

Vedclass · Accepted Answer

$\log_{e} 2 < 1 < \pi / 4$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ दिया गया है।चूंकि $1 सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर, $1+x^2 व्युत्क्रम लेने पर असमिका बदल जाती है: $\frac{1}{1+x^2} > \frac{1}{1+x^{\pi / 2}} > \frac{1}{1+x}$।$0$ से $1$ तक $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}$।समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$[ an^{-1}(x)]_{0}^{1} > I > [\log_{e}(1+x)]_{0}^{1}$।$\frac{\pi}{4} > I > \log_{e}(2)$।अतः, सही संबंध $\log_{e} 2 < I < \pi / 4$ है।

यदि $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ है, तो

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