જો $\vec{\alpha} = 3\hat{i} - \hat{k}$, $|\vec{\beta}| = \sqrt{5}$, અને $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3$ હોય, તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ છે.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=\lambda \hat{i}-7 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+2 \lambda \hat{k}$. જો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ કરતા વધારે હોય, તો $\lambda$ કઈ અસમતાનું પાલન કરે છે?

જો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$|\vec{b}| = 5$ અને $\vec{a}$ તથા $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો આ બે સદિશો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 2)$ અને $(\sqrt{3} - 1, -\sqrt{3} - 1, 4)$ ધરાવતી રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો ......... $^o$ છે.

ધારો કે $u = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $v = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે. તો $u$ પર $v$ નો ઘટક શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો બિંદુઓ $2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$ અને $3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}$ માંથી પસાર થતી રેખા અને બિંદુઓ $\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}$ અને $\vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ ને જોડતી રેખાનું છેદબિંદુ શોધો.