જો sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3 હોય, તો sum_{k=1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$.આપણે જાણીએ છીએ કે $n > 1$ માટે $a_n = S_n - S_{n-1}$ થાય.$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 - 3n^2

Vedclass · Accepted Answer

$91$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$.આપણે જાણીએ છીએ કે $n > 1$ માટે $a_n = S_n - S_{n-1}$ થાય.$a_n = 6n^3 - 6(n-1)^3 = 6(n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1)) = 6(3n^2 - 3n + 1) = 18n^2 - 18n + 6$.હવે, $a_{k+1} - a_k$ ની ગણતરી કરીએ:$a_{k+1} - a_k = [18(k+1)^2 - 18(k+1) + 6] - [18k^2 - 18k + 6]$$= 18(k^2 + 2k + 1 - k^2) - 18(k + 1 - k) = 18(2k + 1) - 18 = 36k$.આ કિંમતને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:$\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{36k}{36}\right)^2 = \sum_{k=1}^{6} k^2$.પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા.$n=6$ માટે, $\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6 + 1)}{6} = 7 \cdot 13 = 91$.

જો $\sum_{k=1}^{n} a_k = 6n^3$ હોય, તો $\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{a_{k+1}-a_k}{36}\right)^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

Similar Questions

જો $x_n = \frac{2n^2 + n + 1}{2n^2 - 3n + 2}$ હોય,તો $\sum_{r=1}^n \left[ \left( \prod_{i=1}^r x_i \right) - 2\sum_{i=1}^r (2i - 1) \right]$ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણી $5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + \ldots + 20^{2}$ નો સરવાળો શોધો.

નીચેની શ્રેણી $(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 7) + (7 \times 9) + \dots$ નું $n^{th}$ પદ શું હશે?

શ્રેણી $1^{2} + (1^{2} + 2^{2}) + (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) + \ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

$2 + 4 + 7 + 11 + 16 + \dots$ શ્રેણીનો $n$ પદ સુધીનો સરવાળો શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module