यदि f(x) = cos^{-1}left[ frac{1 - (log x)^2}{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \cos^{-1}\left[ \frac{1 - (\log x)^2}{1 + (\log x)^2} \right]$.माना $u = \log x$. तब व्यंजक $\cos^{-1}\left[ \frac{1 - u^2}{1

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$\frac{1}{e}$

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(B) दिया गया है $f(x) = \cos^{-1}\left[ \frac{1 - (\log x)^2}{1 + (\log x)^2} ight]$.माना $u = \log x$. तब व्यंजक $\cos^{-1}\left[ \frac{1 - u^2}{1 + u^2} ight]$ हो जाता है।त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन $u = 	an 	heta$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos^{-1}\left[ \frac{1 - 	an^2 	heta}{1 + 	an^2 	heta} ight] = \cos^{-1}(\cos 2	heta) = 2	heta = 2	an^{-1} u$.अतः,$f(x) = 2	an^{-1}(\log x)$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{1}{x}$.अब,$x = e$ पर मान ज्ञात करने पर:$f'(e) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\log e)^2} \cdot \frac{1}{e}$.चूंकि $\log e = 1$,इसलिए $f'(e) = 2 \cdot \frac{1}{1 + 1^2} \cdot \frac{1}{e} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$.

यदि $f(x) = \cos^{-1}\left[ \frac{1 - (\log x)^2}{1 + (\log x)^2} \right]$ है,तो $f'(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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