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Question

(D) दिया गया है $y = (x^2 + 1)^{\sin x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin x \cdot \ln(x^2 + 1)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $

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निरंतर ह्रासमान

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(D) दिया गया है $y = (x^2 + 1)^{\sin x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin x \cdot \ln(x^2 + 1)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(x^2 + 1) + \sin x \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$।अतः, $\frac{dy}{dx} = y [\frac{2x \sin x}{x^2 + 1} + \cos x \cdot \ln(x^2 + 1)]$।इसे दिए गए रूप $\frac{dy}{dx} = y [\frac{2x \sin x}{g(x)} + \cos x \cdot \log(g(x))]$ से तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $g(x) = x^2 + 1$।हमें फलन $f(x) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{x^2 + 1}$ का विश्लेषण करना है।$x > 0$ के लिए, जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, $x^2 + 1$ बढ़ता है।चूंकि $x^2 + 1$ हर में है और हमेशा धनात्मक है, इसलिए जैसे-जैसे $x^2 + 1$ बढ़ता है, $\frac{1}{x^2 + 1}$ घटता है।विशेष रूप से, $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$। चूंकि $x > 0$, इसलिए $f'(x) अतः, फलन निरंतर ह्रासमान है।

यदि $x > 0$ के लिए $y = (x^2 + 1)^{\sin x}$ है, इस प्रकार कि $\frac{dy}{dx} = y [\frac{2x \sin x}{g(x)} + \cos x \cdot \log(g(x))]$, तो फलन $\frac{1}{g(x)}$ है...

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