જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i}$, અને $\vec{c} = c_1 \hat{i} + c_2 \hat{j} + c_3 \hat{k}$ જ્યાં $c_1 = 1$ અને $c_2 = 2$ હોય, તો $c_3$ ની કિંમત શોધો જેથી $\vec{a}$, $\vec{b}$, અને $\vec{c}$ સમતલીય (coplanar) હોય.

જો $2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$, $-12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$, $-\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ એ ચાર સમતલીય બિંદુઓના સ્થાન સદિશો હોય, તો $\lambda=$

ધારો કે $OA, OB, OC$ એ $V$ ઘનફળ ધરાવતા લંબઘન સમાંતરફલક (rectangular parallelopiped) ની સહ-અંતિમ ધાર છે અને $P$ એ $O$ ની સામેનો શિરોબિંદુ છે. તો, $[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય એકમ સદિશો છે કે જેથી તેમની દરેક જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે. જો $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} = p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}$ હોય,જ્યાં $p, q$ અને $r$ અદિશ છે,તો $\frac{p^2 + 2q^2 + r^2}{q^2}$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો સદિશો $\hat{\imath}-\hat{\jmath}-6 \hat{k}$,$\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+4 \hat{k}$ અને $2 \hat{\imath}-5 \hat{\jmath}+m \hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો.

જો $\bar{a}, \bar{b}$ અને $\bar{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો હોય અને $|\bar{a}| = 1, |\bar{b}| = 3$ અને $|\bar{c}| = 5$ હોય,તો $[\bar{a} - 2\bar{b}, \bar{b} - 3\bar{c}, \bar{c} - 4\bar{a}]$ ની કિંમત શોધો.