જો $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ હોય, તો અદિશ ત્રિપુટી ગુણાકાર $[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}]$ ની કિંમત શોધો:

સદિશો $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}$ અને $\vec{c} + \vec{a}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ $4$ છે. તો સદિશો $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ અને $\vec{c} \times \vec{a}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ કેટલું થાય?

ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો $5\hat{i}+5\hat{j}+2\lambda\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$-2\hat{i}+\lambda\hat{j}+4\hat{k}$ અને $-\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$ છે. ધારો કે ગણ $S = \{\lambda \in \mathbb{R} : \text{બિંદુઓ } A, B, C \text{ અને } D \text{ સમતલીય છે}\}$. તો $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{c}$ એ એકમ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય સદિશ છે અને $\vec{d}$ એ $\vec{a}$, $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને લંબ એકમ સદિશ છે. જો $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{a}$ તથા $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોય, તો $|\vec{c}| =$

જો એક ચતુષ્ફલક કે જેની ધાર $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ હોય તેનું ઘનફળ $24$ ઘન એકમ હોય,તો જે સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) ની ધાર $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ હોય તેનું ઘનફળ કેટલું થાય ($\text{ઘન એકમ}$ માં)?

ધારો કે $\overrightarrow{a}$ એક એકમ સદિશ છે, $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 3\hat{k}$ છે. તો, $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?