यदि f:R to R और g:R to R एकैकी (one-to-one),व | vedclass

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Question

(A) माना $\phi(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$। अब,$\phi(-x)$ की गणना करते हैं: $\phi(-x) = [f(-x) + f(x)][g(-x) - g(x)]$ $\phi(-x) = [f(x) + f(-x)

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(A) माना $\phi(x) = [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)]$। अब,$\phi(-x)$ की गणना करते हैं: $\phi(-x) = [f(-x) + f(x)][g(-x) - g(x)]$ $\phi(-x) = [f(x) + f(-x)][-(g(x) - g(-x))]$ $\phi(-x) = -[f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] = -\phi(x)$। चूंकि $\phi(-x) = -\phi(x)$,इसलिए फलन $\phi(x)$ एक विषम फलन (odd function) है। किसी भी विषम फलन $\phi(x)$ के लिए,सममित अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर समाकल का मान शून्य होता है: $\int_{-\pi}^{\pi} \phi(x) \, dx = 0$। अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx = 0$।

यदि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ एकैकी (one-to-one),वास्तविक मान वाले फलन हैं,तो समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या है?

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