यदि f(x) = x^n है,तो f(1) - frac{f'(1)}{1!} + | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = x^n$. हम जानते हैं कि $x=1$ पर $f(x)$ का $k$-वां अवकलज $f^k(1) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ होता है। इस मान को

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(C) दिया गया है $f(x) = x^n$. हम जानते हैं कि $x=1$ पर $f(x)$ का $k$-वां अवकलज $f^k(1) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ होता है। इस मान को व्यंजक में रखने पर: $f(1) - \frac{f'(1)}{1!} + \frac{f''(1)}{2!} - \frac{f'''(1)}{3!} + ...... + \frac{(-1)^n f^n(1)}{n!} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{f^k(1)}{k!}$. चूंकि $\frac{f^k(1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - ...... + (-1)^n \binom{n}{n}$. द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$. $x=1$ रखने पर,हमें $(1-1)^n = 0^n = 0$ प्राप्त होता है (जहाँ $n \ge 1$)। अतः,मान $0$ है।

यदि $f(x) = x^n$ है,तो $f(1) - \frac{f'(1)}{1!} + \frac{f''(1)}{2!} - \frac{f'''(1)}{3!} + ...... + \frac{(-1)^n f^n(1)}{n!}$ का मान क्या है?

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