x 0 के लिए व्यंजक (5+x)^{500} + x(5+x)^{499 | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (5+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{5+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।गुणोत्तर श

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$^{501}C_{101}(5)^{399}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (5+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{5+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर:$S = \frac{(5+x)^{500} \left[ 1 - \left( \frac{x}{5+x} ight)^{501} ight]}{1 - \frac{x}{5+x}} = \frac{(5+x)^{501} - x^{501}}{5}$हमें $\frac{1}{5} [(5+x)^{501} - x^{501}]$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(5+x)^{501}$ के विस्तार में $x^{101}$ वाला पद $^{501}C_{101} (5)^{400} x^{101}$ है।अतः,व्यंजक में $x^{101}$ का गुणांक $\frac{1}{5} 	imes ^{501}C_{101} (5)^{400} = ^{501}C_{101} (5)^{399}$ है।

$x > 0$ के लिए व्यंजक $(5+x)^{500} + x(5+x)^{499} + x^{2}(5+x)^{498} + \ldots + x^{500}$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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यदि $\sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) \cdot {}^{11}C_{r+1} = \frac{\alpha^{11}-11^{11}}{10^{10}}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए :

जब $|x| < 1$ हो,तब $[\sqrt{1 + x^2} - x]^{-1}$ के $x$ की आरोही घातों में विस्तार में $x$ का गुणांक क्या है?

$(1+x)^{101} (1-x+x^2)^{100}$ में $x^{50}$ का गुणांक...... है।

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