જો $f$ અને $g$ એ $[0, a]$ પર સતત વિધેયો હોય જે $f(x) = f(a - x)$ અને $g(x) + g(a - x) = 2$ નું પાલન કરે છે,તો $\int_0^a f(x)g(x) dx = $

$\int_{\frac{-3}{4}}^{\frac{\pi-6}{8}} \log (\sin (4 x+3)) \, dx =$

$\int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx = $

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x \, dx}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} = ?$

ધારો કે $T > 0$ એક નિશ્ચિત સંખ્યા છે. $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(x+T) = f(x)$ દરેક $x \in R$ માટે થાય. જો $I = \int_0^T f(x) dx$ હોય,તો $\int_0^{5T} f(2x) dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)=\int_0^x g(t) \log _e\left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$,જ્યાં $g$ એ એક સતત અયુગ્મ વિધેય છે. જો $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(f(x)+\frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x=\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2-\alpha$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત ............. છે.