જો m અને n એવા પૂર્ણાંકો હોય કે જેથી (m - n) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin(A) \cos(B) = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.અહીં,$A = nx$ અને $B = mx$ છે,તેથી $\cos(mx) \sin(nx)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2n}{n^{2} - m^{2}}$

Vedclass · Answer

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin(A) \cos(B) = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.અહીં,$A = nx$ અને $B = mx$ છે,તેથી $\cos(mx) \sin(nx) = \frac{1}{2} [\sin((n + m)x) + \sin((n - m)x)]$.સંકલન $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} [\sin((n + m)x) + \sin((n - m)x)] \, dx$ બને છે.સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos((n + m)x)}{n + m} - \frac{\cos((n - m)x)}{n - m} \right]_{0}^{\pi}$ મળે છે.કારણ કે $(m - n)$ એકી છે,તેથી $(m + n)$ પણ એકી છે. આમ,$\cos((n + m)\pi) = -1$ અને $\cos((n - m)\pi) = -1$.સીમાઓ પર મૂલ્ય મુકતા: $I = \frac{1}{2} \left[ (-\frac{-1}{n + m} - \frac{-1}{n - m}) - (-\frac{1}{n + m} - \frac{1}{n - m}) \right]$.$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{n + m} + \frac{1}{n - m} + \frac{1}{n + m} + \frac{1}{n - m} \right] = \frac{1}{n + m} + \frac{1}{n - m}$.$I = \frac{(n - m) + (n + m)}{n^{2} - m^{2}} = \frac{2n}{n^{2} - m^{2}}$.

જો $m$ અને $n$ એવા પૂર્ણાંકો હોય કે જેથી $(m - n)$ એક એકી પૂર્ણાંક હોય,તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\pi} \cos(mx) \sin(nx) \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

$\int_{0}^{1} e^{x e^{x}} (1 + x e^{x}) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \, dx =$

$\int_{-2}^1 f(x) dx$ ની કિંમત શોધો, જ્યાં $f(x) = \begin{cases} 1-2x, & x \leq 0 \\ 1+2x, & x \geq 0 \end{cases}$

નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^3 [x] \, dx$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{2 x+3}{5 x^{2}+1} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module