જો $\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$ હોય,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ ને જોડતી જીવા કયા બિંદુએ કાટખૂણો આંતરે છે?

જો $P(\alpha, \beta)$ એ પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $9x^2 + 4y^2 = 144$ પરનું બિંદુ હોય અને $P$ આગળ વક્રના સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $S$ હોય,તો

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો $\frac{e^4}{1-e^2}=$ (અહીં $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે)

ઉપવલય $9x^2 + 25y^2 = 225$ ના નાભિઓ ........... છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $H(\alpha, 0)$,$0 < \alpha < 2$,એક બિંદુ છે. $H$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા ઉપવલય અને તેના સહાયક વર્તુળને પ્રથમ ચરણમાં અનુક્રમે $E$ અને $F$ બિંદુઓમાં છેદે છે. બિંદુ $E$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષને $G$ બિંદુમાં છેદે છે. ધારો કે $F$ અને ઉગમબિંદુને જોડતી સીધી રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે.

$List-I$	$List-II$
$(I)$ જો $\phi=\frac{\pi}{4}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(P) \frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$
$(II)$ જો $\phi=\frac{\pi}{3}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(Q) 1$
$(III)$ જો $\phi=\frac{\pi}{6}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(R) \frac{3}{4}$
$(IV)$ જો $\phi=\frac{\pi}{12}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ	$(S) \frac{1}{2\sqrt{3}}$
	$(T) \frac{3\sqrt{3}}{2}$

સાચો વિકલ્પ છે:

જો ઉપવલયની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર તેની નાભિઓ વચ્ચેના અંતર કરતા ત્રણ ગણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.