यदि x,[0, 1] में एक वास्तविक संख्या है,तो lim | vedclass

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Question

(B) माना $L = \lim_{m 	o \infty} \lim_{n 	o \infty} [1 + \cos^{2m}(n! \pi x)]$. यदि $x$ एक परिमेय संख्या है,तो $x = \frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा

Vedclass · Accepted Answer

$x$ के परिमेय या अपरिमेय होने के अनुसार $2$ या $1$

Vedclass · Answer

(B) माना $L = \lim_{m 	o \infty} \lim_{n 	o \infty} [1 + \cos^{2m}(n! \pi x)]$. यदि $x$ एक परिमेय संख्या है,तो $x = \frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है। $n \ge q$ के लिए,$n! x$ एक पूर्णांक बन जाता है। अतः,$\cos^2(n! \pi x) = 1$. तब $\lim_{n 	o \infty} \cos^{2m}(n! \pi x) = 1$. इसलिए,$L = 1 + 1 = 2$. यदि $x$ एक अपरिमेय संख्या है,तो $n! x$ पूर्णांक नहीं है। अतः,$|\cos(n! \pi x)| इसलिए,$L = 1 + 0 = 1$. अतः,यदि $x$ परिमेय है तो मान $2$ है और यदि $x$ अपरिमेय है तो मान $1$ है।

यदि $x$,$[0, 1]$ में एक वास्तविक संख्या है,तो $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} [1 + \cos^{2m}(n! \pi x)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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