यदि f(x) एक व्युत्क्रमणीय और दो बार अवकलनीय फ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f'(x) = \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) dt$ और $f'(0) = 1$ है। लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:

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$\sqrt{e}$

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(D) दिया गया है कि $f'(x) = \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) dt$ और $f'(0) = 1$ है। लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f''(x) = f^{-1}(f(x)) \cdot f'(x)$। चूंकि $f(x)$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $f^{-1}(f(x)) = x$ होता है। अतः,$f''(x) = x f'(x)$। पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{f''(x)}{f'(x)} = x$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2} + C$। $x = 0$ पर,$f'(0) = 1$,इसलिए $\ln|1| = 0 + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$। अतः,$\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2}$,जिससे $f'(x) = e^{x^2/2}$ प्राप्त होता है। $x = 1$ के लिए,$f'(1) = e^{1/2} = \sqrt{e}$।

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