જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો હોય કે જેથી $AB = A$ અને $BA = B$ થાય,તો $(A + I)^5$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $I$ એકમ શ્રેણિક છે).

ધારો કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે,જ્યાં $A$ સંમિત શ્રેણિક છે અને $B$ વિસંમિત શ્રેણિક છે. તો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})X = O$,જ્યાં $X$ એ અજ્ઞાત ચલોનો $3 \times 1$ સ્તંભ શ્રેણિક છે અને $O$ એ $3 \times 1$ શૂન્ય શ્રેણિક છે,તેને ....... છે.

જો $\omega$ એ સમીકરણ $x+\frac{1}{x}+1=0$ નું બીજ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega & 1+\omega+\omega^2 \\ 3 & 4+3 \omega & 5+4 \omega+3 \omega^2 \\ 6 & 9+6 \omega & 11+9 \omega+6 \omega^2\end{array}\right|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, અને $P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix}$ એક લંબકોણીય શ્રેણિક છે જેથી $B = PAP^{-1}$ થાય. તો:

$3$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિક $B$ માટે, જો $B^T=B^{-1}$ અને $|B|=1$ હોય, તો $|B-I|=$

$A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ અને $B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix}$ હોય,તો $A - B = $ . . . . . . .