જો $\vec a = 2\sin \theta \hat i - \hat j + 2\hat k$,$\vec b = 2\hat i + 2\sin \theta \hat j - \hat k$ અને $\vec c = 4\hat i + \hat j + 4\cos^2 \theta \hat k$ સમતલીય હોય,તો $\theta$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?

જો સદિશો $\bar{a}, \bar{b}$ અને $\bar{c}$ માટે $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4$ હોય,તો $[\bar{a} \times \bar{b}, \bar{b} \times \bar{c}, \bar{c} \times \bar{a}] = \dots$

જો $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = -\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$ હોય,જેથી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = -3$ થાય,તો $\frac{1}{3}((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$ ની કિંમત ............ છે.

જો $\bar{V} = 2\bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$ અને $\bar{W} = \bar{i} + 3\bar{k}$ હોય અને જો $\bar{U}$ એ એકમ સદિશ હોય,તો $[\bar{U} \bar{V} \bar{W}]$ ની મહત્તમ કિંમત ... છે.

જો સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના સમતલમાં હોય,જ્યાં $\overline{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overline{c}=x\hat{i}-(2-x)\hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન-$1$: સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોય જો અને માત્ર જો $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ હોય.
વિધાન-$2$: સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને માત્ર જો $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ હોય,જ્યાં $\vec{u} \times \vec{v}$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સમતલને લંબ સદિશ છે.