જો વક્ર y = f(x) બિંદુ (1, 2) માંથી પસાર થાય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ છે,જેને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = bx^3$ તરીકે લખી શકાય.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂ

Vedclass · Accepted Answer

$10$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ છે,જેને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = bx^3$ તરીકે લખી શકાય.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = bx^3$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે,જે $yx = \int bx^3 \cdot x dx + C = \int bx^4 dx + C$ આપે છે.આમ,$yx = \frac{bx^5}{5} + C$,અથવા $f(x) = y = \frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}$ મળે.વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = \frac{b}{5} + C$,એટલે કે $C = 2 - \frac{b}{5}$.આપેલ છે કે $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$,તેથી $\int_{1}^{2} (\frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}) dx = [\frac{bx^5}{25} + C \ln x]_{1}^{2} = \frac{62}{5}$.સીમાઓ મૂકતા: $(\frac{32b}{25} + C \ln 2) - (\frac{b}{25} + 0) = \frac{31b}{25} + C \ln 2 = \frac{62}{5}$.$C = 2 - \frac{b}{5}$ મૂકતા: $\frac{31b}{25} + (2 - \frac{b}{5}) \ln 2 = \frac{62}{5}$.આ સમીકરણ સંતોષવા માટે,$\ln 2$ નો સહગુણક $0$ લેતા,$2 - \frac{b}{5} = 0$,જે $b = 10$ આપે છે.ત્યારબાદ $\frac{31(10)}{25} = \frac{310}{25} = \frac{62}{5}$ મળે છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$b = 10$.

જો વક્ર $y = f(x)$ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય અને $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ નું સમાધાન કરે,તો $b$ ની કઈ કિંમત માટે $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$ થાય?

Similar Questions

જો વિકલ સમીકરણ $\begin{vmatrix} f(x) & f'(x) \\ f'(x) & f''(x) \end{vmatrix} = 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય અને $f(0) = 1, f'(0) = 2$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

વિકલ સમીકરણ $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ નો વ્યાપક ઉકેલ છે

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(0)=0,$ તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module