જો પરવલય $y^2 = 4ax$ નો અભિલંબ તેના અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે,તો તે વક્રને ફરીથી કયા ખૂણે છેદશે?

જો $e_{1}$ અને $e_{2}$ અનુક્રમે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,અને $(e_{1}, e_{2})$ એ ઉપવલય $15x^{2}+3y^{2}=k$ પરનું બિંદુ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વક્રો $ax^2 + by^2 = 1$ અને $a'x^2 + b'y^2 = 1$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે તે માટેની શરત છે

$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ત્રિકોણ $PQR$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ માં એવી રીતે અંતર્ગત છે કે શિરોબિંદુ $P$ એ પરવલયના શિરોબિંદુ પર છે અને પાયો $QR$ એ નાભિસ્થ જીવા છે. બિંદુઓ $Q$ અને $R$ ના યામોના તફાવતનું માનાંક શું છે?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ ના નાભિઓ $(f_1, 0)$ અને $(f_2, 0)$ છે,જ્યાં $f_1 > 0$ અને $f_2 < 0$ છે. ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ બે પરવલયો છે જેનું શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે અને નાભિઓ અનુક્રમે $(f_1, 0)$ અને $(2f_2, 0)$ છે. ધારો કે $T_1$ એ $P_1$ નો સ્પર્શક છે જે $(2f_2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $T_2$ એ $P_2$ નો સ્પર્શક છે જે $(f_1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. જો $m_1$ એ $T_1$ નો ઢાળ હોય અને $m_2$ એ $T_2$ નો ઢાળ હોય,તો $(\frac{1}{m_1^2} + m_2^2)$ ની કિંમત શું છે?

જો $PQ$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની બેવડી કોટિ (double ordinate) હોય,જેથી $\triangle OPQ$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ બને,જ્યાં $O$ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર છે,તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?