यदि परवलय $y^2 = 4ax$ का अभिलंब उसके अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाता है,तो यह वक्र को पुनः किस कोण पर काटेगा?

स्तंभ $1, 2$ और $3$ में क्रमशः शांकव,स्पर्श रेखाओं के समीकरण और स्पर्श बिंदु दिए गए हैं।
(तालिका के लिए अंग्रेजी संस्करण देखें)
$(1)$ एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(\sqrt{3}, 1/2)$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{3}x+2y=4$ है। कौन सा संयोजन सही है?
$(2)$ यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) की स्पर्श रेखा $y=x+8$ है और इसका स्पर्श बिंदु $(8, 16)$ है,तो कौन सा संयोजन सही है?
$(3)$ $a=\sqrt{2}$ के लिए,यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा खींची जाती है,तो कौन सा संयोजन सही है?

परवलय $(x - 1)^2 = 4(y - 2)$ और दीर्घवृत्त $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y - 2)^2}{2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1^2 + m_2^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक द्विघात बहुपद $y = f(x)$ जिसका अचर पद $3$ है,न तो $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और न ही काटता है और रेखा $x = 1$ के परितः सममित है। बहुपद के अग्रणी पद का गुणांक इकाई है। कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली $OXY$ में प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु $A(x_1, y_1)$ जिसका भुज $x_1 = 1$ है और एक बिंदु $B(x_2, y_2)$ जिसका कोटि $y_2 = 11$ है,दिए गए हैं,जहाँ $O$ मूलबिंदु है। द्विघात बहुपद का शीर्ष है:

दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के निर्देशांक अक्षों के बीच के अंतःखंड के मध्य बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ एक ऐसे अतिपरवलय के साथ समनाभी (confocal) है जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2$ है,तो दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु किस वृत्त पर स्थित हैं?