Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultજો એક ત્રિકોણ અને એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક જ પાયા પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય,તો સાબિત કરો કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળથી અડધું હોય છે.
(N/A) ધારો કે $\Delta ABP$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $PC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તમારે સાબિત કરવું છે કે $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
$BQ \parallel AP$ દોરો જેથી બીજો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ મળે. હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ અને $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $PC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
પરંતુ $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (વિકર્ણ $PB$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ ને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે).
તેથી,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
તેથી,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ પરથી] $(3)$.
આના પરથી મળે છે કે $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ અને $(3)$ પરથી].
તમારે સાબિત કરવું છે કે $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
$BQ \parallel AP$ દોરો જેથી બીજો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ મળે. હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ અને $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $PC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
પરંતુ $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (વિકર્ણ $PB$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ ને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે).
તેથી,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
તેથી,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ પરથી] $(3)$.
આના પરથી મળે છે કે $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ અને $(3)$ પરથી].
Explore More
Similar Questions
આકૃતિમાં,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $EFCD$ એક લંબચોરસ છે. વળી,$AL \perp DC$ છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$
$(ii)$ $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$
$(i)$ $\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$
$(ii)$ $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$
Difficult
View Solutionચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $P$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $ar(APB) \times ar(CPD) = ar(APD) \times ar(BPC)$.
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABCDE$ એક પંચકોણ છે. $B$ માંથી પસાર થતી અને $AC$ ને સમાંતર રેખા,$DC$ ને લંબાવતા $F$ બિંદુમાં મળે છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $ar(ACB) = ar(ACF)$
$(ii)$ $ar(AEDF) = ar(ABCDE)$
$(i)$ $ar(ACB) = ar(ACF)$
$(ii)$ $ar(AEDF) = ar(ABCDE)$
Medium
View Solutionઆપેલ આકૃતિમાં,$ABCD$,$DCFE$ અને $ABFE$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(ADE) = \operatorname{ar}(BCF)$.
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$P$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના અંદરના ભાગમાં આવેલું એક બિંદુ છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$
[સૂચન: $P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો.]
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$
[સૂચન: $P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો.]
Difficult
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo