આકૃતિમાં,$P$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના અંદરના ભાગમાં આવેલું એક બિંદુ છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$
[સૂચન: $P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો.]

(N/A) $(i)$ આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે,એટલે કે $AB \parallel CD$ અને $BC \parallel AD$.
ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખા $EF$ દોરીએ,જ્યાં $E$ એ $AD$ પર અને $F$ એ $BC$ પર છે.
$AB \parallel EF$ હોવાથી,$\Delta APB$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEFB$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $EF$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(AEFB)$ ...... $(1)$
તે જ રીતે,$\Delta PCD$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $CDEF$ એક જ પાયા $CD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $CD$ અને $EF$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(CDEF)$ ...... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(AEFB) + \operatorname{ar}(CDEF)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી $AD$ ને સમાંતર રેખા $GH$ દોરીએ,જ્યાં $G$ એ $CD$ પર અને $H$ એ $AB$ પર છે.
$\Delta APD$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ADGH$ એક જ પાયા $AD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $GH$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADGH)$ ...... $(3)$
તે જ રીતે,$\Delta PBC$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BCGH$ એક જ પાયા $BC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BC$ અને $GH$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCGH)$ ...... $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ADGH) + \operatorname{ar}(BCGH)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(5)$
$(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(6)$
$(5)$ અને $(6)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD)$