ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $\operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(BOC)$ થાય. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપણને એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ આપેલ છે અને તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે,જેથી $\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ થાય.
હવે,$\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ [આપેલ છે].
બંને બાજુ $\operatorname{ar}(\Delta AOB)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta AOB) = \operatorname{ar}(\Delta BOC) + \operatorname{ar}(\Delta AOB)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
આ બે ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta ABC$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel DC$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.