Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultयदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
(N/A) मान लीजिए कि $\Delta ABP$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
आपको सिद्ध करना है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ है।
$BQ \parallel AP$ खींचिए जिससे एक अन्य समांतर चतुर्भुज $ABQP$ प्राप्त हो। अब,समांतर चतुर्भुज $ABQP$ और $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
परंतु $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (विकर्ण $PB$ समांतर चतुर्भुज $ABQP$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसलिए,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
अतः,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ से] $(3)$.
इससे प्राप्त होता है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ और $(3)$ से] है।
आपको सिद्ध करना है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ है।
$BQ \parallel AP$ खींचिए जिससे एक अन्य समांतर चतुर्भुज $ABQP$ प्राप्त हो। अब,समांतर चतुर्भुज $ABQP$ और $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
परंतु $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (विकर्ण $PB$ समांतर चतुर्भुज $ABQP$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसलिए,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
अतः,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ से] $(3)$.
इससे प्राप्त होता है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ और $(3)$ से] है।
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