यदि संभव हो,तो प्रारंभिक पंक्ति परिवर्तनों का उपयोग करके निम्नलिखित आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$

(A) आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम प्रारंभिक पंक्ति परिवर्तनों द्वारा ज्ञात करने के लिए,हम $A = IA$ लिखते हैं:
$\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + 2R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ और $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ लागू करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}-1 & -3 & 3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] A$
वैकल्पिक रूप से,हम सारणिक $|A|$ की गणना कर सकते हैं:
$|A| = 2(-2 - 2) - 3(-1 - 2) - 3(-1 + 2) = 2(-4) - 3(-3) - 3(1) = -8 + 9 - 3 = -2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,व्युत्क्रम का अस्तित्व है। आव्यूह का व्युत्क्रम $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ है।