यदि समतलों ax - y + 3z = 2a और 3x + ay + z = | vedclass

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Question

(A) समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ और $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ हैं।दिया गया है कि समतलो

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$(2, -1, 2)$

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(A) समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ और $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ हैं।दिया गया है कि समतलों के बीच का कोण $	heta = \frac{\pi}{3}$ है, इसलिए $\cos 	heta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{|3a - a + 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + a^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$।$\frac{|2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 10} \sqrt{a^2 + 10}} = \frac{1}{2} \implies \frac{|2a + 3|}{a^2 + 10} = \frac{1}{2}$।$2|2a + 3| = a^2 + 10$।स्थिति $1$: $4a + 6 = a^2 + 10 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$।स्थिति $2$: $-4a - 6 = a^2 + 10 \implies a^2 + 4a + 16 = 0$, जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।अतः, $a = 2$।समतल का समीकरण $(2+2)x + (2-4)y + 2(2)z = 2$ अर्थात $4x - 2y + 4z = 2$ या $2x - y + 2z = 1$ हो जाता है।इस समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, -1, 2)$ हैं।

यदि समतलों $ax - y + 3z = 2a$ और $3x + ay + z = 3a$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है, तो समतल $(a+2)x + (a-4)y + 2az = a$ के लंबवत रेखा के दिक अनुपात क्या हैं?

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