यदि वृत्त x^2+y^2=2 का क्षेत्रफल परवलय y=x^2 | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्रों के समीकरण $x^2+y^2=2$ और $y=x^2$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,वृत्त के समीकरण में $x^2=y$ प्रतिस्थापित करने पर:$y+y^2=2 \Rightarrow

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$\frac{3 \pi}{2}-\frac{1}{3}$

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(A) दिए गए वक्रों के समीकरण $x^2+y^2=2$ और $y=x^2$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,वृत्त के समीकरण में $x^2=y$ प्रतिस्थापित करने पर:$y+y^2=2 \Rightarrow y^2+y-2=0$$(y+2)(y-1)=0$चूंकि $y=x^2 \ge 0$,इसलिए $y=1$ है। अतः,$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$ है।वृत्त का क्षेत्रफल $A_{circle} = \pi r^2 = 2\pi$ है।छोटे भाग का क्षेत्रफल $A_{small}$,$x=-1$ से $x=1$ के बीच वृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से परवलय के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:$A_{small} = \int_{-1}^{1} (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} dx - 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$A_{small} = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} + \frac{2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})]_0^1 - 2[\frac{x^3}{3}]_0^1$$A_{small} = 2 [(\frac{1}{2}\sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) - 0] - \frac{2}{3} = 2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = 1 + \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$ है।बड़े भाग का क्षेत्रफल $A_{large} = A_{circle} - A_{small} = 2\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।अतः,विकल्प $A$ सही है।

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