मान लीजिए S वक्रों y=x^{3} और y^{2}=x द्वारा | vedclass

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Question

(B) क्षेत्र $S$,प्रथम चतुर्थांश में $y=x^{3}$ और $y^{2}=x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।कुल क्षेत्रफल $S$ इस प्रकार है

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$19$

Vedclass · Answer

(B) क्षेत्र $S$,प्रथम चतुर्थांश में $y=x^{3}$ और $y^{2}=x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।कुल क्षेत्रफल $S$ इस प्रकार है:$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{3}) dx$$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{4}}{4} ight]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$.वक्र $y=2x$ (जहाँ $x>0$),$y^{2}=x$ को $4x^{2}=x$ पर काटता है,इसलिए $x=1/4$ (चूंकि $x 
eq 0$ है)।क्षेत्रफल $R_{1}$,$x=0$ से $x=1/4$ तक $y=\sqrt{x}$ और $y=2x$ द्वारा घिरा हुआ है:$R_{1} = \int_{0}^{1/4} (\sqrt{x} - 2x) dx$$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x^{2} ight]_{0}^{1/4} = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \frac{1}{16} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4-3}{48} = \frac{1}{48}$.चूंकि $S = R_{1} + R_{2}$,इसलिए $R_{2} = S - R_{1} = \frac{5}{12} - \frac{1}{48} = \frac{20-1}{48} = \frac{19}{48}$.अतः,$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{19/48}{1/48} = 19$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

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