यदि क्षेत्र {(x, y): 0 leq y leq min {2x, 6x- | vedclass

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Question

(B) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = 2x$ और $y = 6x - x^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।$2x = 6x - x^2$ रखने पर,हमे

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$304$

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(B) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = 2x$ और $y = 6x - x^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।$2x = 6x - x^2$ रखने पर,हमें $x^2 - 4x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x - 4) = 0$। अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।$0 \leq x \leq 4$ के लिए,$2x \leq 6x - x^2$ है,इसलिए $\min \{2x, 6x - x^2\} = 2x$।$x > 4$ के लिए,$6x - x^2 वक्र $y = 6x - x^2$ $x$-अक्ष को $x = 0$ और $x = 6$ पर काटता है।अतः,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_0^4 2x \, dx + \int_4^6 (6x - x^2) \, dx$प्रथम समाकलन की गणना करने पर:$\int_0^4 2x \, dx = [x^2]_0^4 = 16 - 0 = 16$द्वितीय समाकलन की गणना करने पर:$\int_4^6 (6x - x^2) \, dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_4^6 = (3(36) - \frac{216}{3}) - (3(16) - \frac{64}{3}) = (108 - 72) - (48 - \frac{64}{3}) = 36 - \frac{144 - 64}{3} = 36 - \frac{80}{3} = \frac{108 - 80}{3} = \frac{28}{3}$इसलिए,$A = 16 + \frac{28}{3} = \frac{48 + 28}{3} = \frac{76}{3}$।अंत में,$12A = 12 	imes \frac{76}{3} = 4 	imes 76 = 304$।

यदि क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq y \leq \min \{2x, 6x-x^2\}\}$ का क्षेत्रफल $A$ है,तो $12A$ का मान ज्ञात कीजिए।

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