જો બે સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો સાબિત કરો કે તેઓ એકરૂપ છે.

(N/A) ધારો કે બે સમરૂપ ત્રિકોણ $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$ $...(1)$
આપેલ છે કે,$\text{ar}(\triangle ABC) = \text{ar}(\triangle PQR)$.
તેથી,$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = 1$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{AC}{PR}\right)^2$.
આનો અર્થ એ થાય કે:
$\left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = 1 \Rightarrow AB^2 = PQ^2 \Rightarrow AB = PQ$
$\left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = 1 \Rightarrow BC^2 = QR^2 \Rightarrow BC = QR$
$\left(\frac{AC}{PR}\right)^2 = 1 \Rightarrow AC^2 = PR^2 \Rightarrow AC = PR$
જેથી ત્રણેય અનુરૂપ બાજુઓ સમાન હોવાથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABC \cong \triangle PQR$ સાબિત થાય છે.