જો વર્તુળો $x^2+y^2-2x-2y+k=0$ અને $x^2+y^2+4x+6y+4=0$ એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,તો બે વર્તુળોનો સ્પર્શબિંદુ કયું છે?

જો બિંદુ $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ $\theta \in (0, 2 \pi)$ માટે રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ વચ્ચેના પ્રદેશમાં આવેલું હોય જેમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે, તો $\theta$ કયા અંતરાલમાં હશે?

ધારો કે વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર રેખા $x+y-5=0$ પર આવેલું છે અને તે પ્રથમ ચરણમાં છે. જો આ વર્તુળ રેખાઓ $x-2=0$ અને $y-5=0$ બંનેને સ્પર્શતું હોય,તો વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

બે વર્તુળો $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ અને $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ આપેલ છે. તો તેઓ

જો $\theta$ એ બિંદુ $(-1, -1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો હોય અને $\cos \theta = -\frac{7}{25}$ હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ધારો કે $G$ એ $R>0$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $G_1, G_2, \ldots, G_n$ એ $r>0$ સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ વર્તુળો છે. ધારો કે દરેક $n$ વર્તુળો $G_1, G_2, \ldots, G_n$ એ વર્તુળ $G$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. વળી,$i=1,2, \ldots, n-1$ માટે,વર્તુળ $G_i$ એ $G_{i+1}$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,અને $G_n$ એ $G_1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $n=4$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ જો $n=5$ હોય,તો $r < R$
$(C)$ જો $n=8$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ જો $n=12$ હોય,તો $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$