જો પરવલય $x^2 = 4y$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો બિંદુ $P$ પર છેદે છે,તો રેખાના ઢાળનો વર્ગ શોધો.

પરવલય $y^2 = 4ax$ ના શિરોબિંદુ $O$ માંથી બે જીવાઓ $OP$ અને $OQ$ દોરવામાં આવે છે,અને $OP$ તથા $OQ$ ને વ્યાસ ગણીને દોરેલા વર્તુળો $R$ માં છેદે છે. જો $\theta_1, \theta_2$ અને $\phi$ એ પરવલય પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો અને $OR$ દ્વારા અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા હોય,તો $\cot \theta_1 + \cot \theta_2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $e_{1}$ અને $e_{2}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(b < 5)$ અને અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,જે $e_{1}e_{2}=1$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અને અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ બરાબર છે

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ ના બિંદુ $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ આગળનો અભિલંબ એક પરવલયને સ્પર્શતો હોય,તો તે પરવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નાભિઓ,અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ ની નાભિઓને સમાન હોય,તો $b^2 = \dots$

કોઈ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે, ધારો કે અતિવલય $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e_{1}$ અને $l_{1}$ છે, અને ઉપવલય $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e_{2}$ અને $l_{2}$ છે. જો $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$ હોય, તો $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta$ ની કિંમત . . . . . . થાય.