यदि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की नाभियों के बीच की दूरी और नियताओं के बीच की दूरी का अनुपात $3: 2$ है,तो $a: b$ का मान क्या है?

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए: शीर्ष $(\pm 2, 0)$,नाभियाँ $(\pm 3, 0)$।

$x^{2}-y^{2}=4$ के फोकस की उसके निकटतम नियता (directrix) से दूरी क्या है?

कथन $(A)$: बिंदु $(5, -4)$ अतिपरवलय $y^2 - 9x^2 + 1 = 0$ के अंदर स्थित है।
कारण $(R)$: एक बिंदु $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अंदर स्थित होता है यदि $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} - 1 < 0$ हो।

यदि एक अतिपरवलय की एक नाभि $(3,0)$ है,इसकी नियता का समीकरण $4x - 3y - 3 = 0$ है और इसकी उत्केन्द्रता $e = \frac{5}{4}$ है,तो इसके शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि $e_{1}$ और $e_{2}$ क्रमशः वक्रों $16x^{2}-9y^{2}=144$ और $9x^{2}-16y^{2}=144$ की उत्केंद्रता (eccentricity) को दर्शाते हैं,तो $\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।