જો વક્ર $C$ નું સમીકરણ યામ અક્ષોને ઉગમબિંદુની આસપાસ ધન દિશામાં $\frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવવાથી $9x^2 + 25y^2 = 225$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,તો રૂપાંતરણ પહેલાં વક્ર $C$ નું સમીકરણ શું હશે?

જે બિંદુ પર ઉગમબિંદુને ખસેડવું જોઈએ જેથી સમીકરણ $y^2-6y-4x+13=0$ એ $y^2+Ax=0$ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય તે બિંદુ કયું છે?

જ્યારે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ બિંદુ પર સ્થળાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમીકરણ $S = 2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ બદલાઈને $S' = ax^2 + 2hxy + by^2 + C' = 0$ થાય છે. જો ત્યારબાદ યામ અક્ષોને નવા ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta$ ખૂણે ધન દિશામાં ફેરવવામાં આવે જેથી $xy$ પદ દૂર થાય,તો સમીકરણ $S' = 0$ એ $Ax^2 + By^2 + C = 0$ બને છે. $h + k + \tan 2\theta$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $(4, 1)$ નીચે મુજબના ત્રણ રૂપાંતરણો ક્રમશઃ અનુભવે છે: $(i)$ રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષે પરાવર્તન,(ii) $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ અંતરનું સ્થાનાંતર,(iii) ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\pi/4$ ખૂણે પરિભ્રમણ. બિંદુનું અંતિમ સ્થાન કયા યામ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે?

બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ જ્યાં $\alpha > 0, \beta > 0$ છે,તે ક્રમશઃ નીચે મુજબના રૂપાંતરણોમાંથી પસાર થાય છે:
$a)$ $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $3$ એકમનું સ્થાનાંતર.
$b)$ રેખા $y = -x$ ની સાપેક્ષે પરાવર્તન.
$c)$ ઉગમબિંદુની આસપાસ ધન દિશામાં $\frac{\pi}{4}$ ના ખૂણે અક્ષોનું પરિભ્રમણ.
જો બિંદુ $P$ નું અંતિમ સ્થાન $(-4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ હોય,તો $(\alpha + \beta)$ ની કિંમત શોધો.

એક રેખા $L$ ના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a$ અને $b$ છે. જ્યારે અક્ષોને ઉગમબિંદુને સ્થિર રાખીને આપેલ ખૂણા $\theta$ જેટલા ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે આ રેખા $L$ ના અંતઃખંડો $p$ અને $q$ મળે છે. તો