જો બિંદુ $(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતા અને $3x - 2y + z = 8$ તથા $x + y + z = 6$ સમતલોને લંબ સમતલનું સમીકરણ $lx + my + nz = 1$ હોય,તો $4m + 2n - 31 =$

ધારો કે $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = 32$ એ એક સમતલનું સમીકરણ છે. જો $(5, b, 3)$ દિક-ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા સમતલને સમાંતર હોય, તો $b$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\pi_1$ એ $\bar{i}+\bar{j}$ અને $\bar{i}+\bar{k}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે અને $\pi_2$ એ $\bar{j}-\bar{k}$ અને $\bar{k}-\bar{i}$ સદિશો દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ છે. ધારો કે $\bar{a}$ એ $\pi_1$ અને $\pi_2$ સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર એક શૂન્યેતર સદિશ છે. જો $\bar{b}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ હોય, તો સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે સમતલ $x+2y+az=2$ અને $x-y+z=3$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $5x-11y+bz=6a-1$ છે. $c \in \mathbb{Z}$ માટે,જો આ સમતલનું બિંદુ $(a, -c, c)$ થી અંતર $\frac{2}{\sqrt{a}}$ હોય,તો $\frac{a+b}{c}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ એ સમતલ $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ માં આવેલી છે. તો $(\alpha, \beta)$ ની કિંમત શોધો.

$5x + 3y + 6z + 8 = 0$ સમતલને લંબ હોય અને $x + 2y + 3z - 4 = 0$ તથા $2x + y - z + 5 = 0$ સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.