यदि फलन frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)} का x की घात | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:$\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)} = \frac{A}{1 - ax} + \frac{B}{1 -

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$\frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{b - a}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:$\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)} = \frac{A}{1 - ax} + \frac{B}{1 - bx}$.$A$ और $B$ का मान ज्ञात करने पर,$A = \frac{a}{a - b}$ और $B = \frac{b}{b - a}$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \frac{a}{a - b}(1 - ax)^{-1} + \frac{b}{b - a}(1 - bx)^{-1}$.द्विपद श्रेणी $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ का उपयोग करते हुए:$f(x) = \frac{a}{a - b} \sum_{n=0}^{\infty} (ax)^n + \frac{b}{b - a} \sum_{n=0}^{\infty} (bx)^n$.$x^n$ का गुणांक $a_n = \frac{a}{a - b} a^n + \frac{b}{b - a} b^n$ है।$a_n = \frac{a^{n+1}}{a - b} + \frac{b^{n+1}}{b - a} = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{b - a}$.

यदि फलन $\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$ का $x$ की घातों में विस्तार $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots$ है,तो $a_n$ क्या है?

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