જો ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 1, 0)$ અને શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, 0)$ હોય,તો ઉપવલયની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

$x^2+3y^2=12$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કેટલી છે?

જો $a$ અને $c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને ઉપવલય $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ ને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9a^2$ સાથે ચાર ભિન્ન સામાન્ય બિંદુઓ હોય,તો

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પર આવેલા ત્રણ બિંદુઓ $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર $(r, s)$ છે. તો $\cos(\theta_1-\theta_2)$,$\cos(\theta_2-\theta_3)$ અને $\cos(\theta_3-\theta_1)$ ની સરેરાશ શોધો.

ધારો કે $S_{1}: x^{2}+y^{2}=9$ અને $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1$ છે. તો એક ચલ વર્તુળ $S$ ના કેન્દ્રનો બિંદુપથ,જે $S_{1}$ ને અંદરથી અને $S_{2}$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તે હંમેશા કયા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે:

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{50} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ પરના એવા બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જ્યાંથી ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ પર પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય.