यदि फलन $P[X = x] = \begin{cases} \frac{K \cdot 2^x}{x!}, & x = 0, 1, 2, 3 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ एक प्रायिकता द्रव्यमान फलन (p.m.f.) बनाता है,तो $K$ का मान है:

एक असतत यादृच्छिक चर $X$,$10, 20, 30$ और $40$ मान लेता है,जिनकी प्रायिकताएँ क्रमशः $0.3, 0.3, 0.2$ और $0.2$ हैं। तो $X$ का प्रत्याशित मान (expected value) क्या है?

एक यादृच्छिक चर $X$ समान प्रायिकताओं के साथ $1, 2, 3, \ldots, n$ मान ग्रहण करता है। यदि $X$ के प्रसरण और $X$ के प्रत्याशित मान का अनुपात $4$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक बैठक में,$70 \%$ सदस्य एक प्रस्ताव के पक्ष में हैं और $30 \%$ विरोध में हैं। एक सदस्य को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि वह प्रस्ताव का विरोध करता है तो हम $X=0$ लेते हैं और यदि सदस्य पक्ष में है तो $X=1$ लेते हैं। तो $X$ का प्रसरण (variance) है:

एक पर्यवेक्षक राजमार्ग पर एक विशिष्ट स्थान पर प्रति घंटे $240$ वाहनों की गणना करता है। यह मानते हुए कि वाहनों का आगमन पॉइसन वितरण का पालन करता है, $30 \text{ सेकंड}$ के समय अंतराल में दो से अधिक वाहनों के आने की प्रायिकता क्या है?

बताइए कि क्या निम्नलिखित तालिका एक यादृच्छिक चर $X$ के प्रायिकता वितरण को दर्शाती है। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$0.4$	$0.4$	$0.2$