यदि वृत्त x^{2}+y^{2}=r^{2} (r0) की जीवा की | vedclass

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Question

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ है,जिसका केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।माना जीवा $AB$ की लंबाई $AB=r$ है।माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु

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$\frac{12}{5}$

Vedclass · Answer

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ है,जिसका केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।माना जीवा $AB$ की लंबाई $AB=r$ है।माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। अतः $OM \perp AB$.समकोण त्रिभुज $\Delta OAM$ में,$OA=r$ (त्रिज्या) और $AM = \frac{AB}{2} = \frac{r}{2}$ है।पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OM^{2} = OA^{2} - AM^{2} = r^{2} - (\frac{r}{2})^{2} = \frac{3r^{2}}{4}$ है।अतः,$OM = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ है।केंद्र $(0,0)$ से रेखा $2x-y+3=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(0) - (0) + 3|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ है।$OM = d$ रखने पर,$\frac{r\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{3r^{2}}{4} = \frac{9}{5}$ है।अतः,$r^{2} = \frac{9}{5} 	imes \frac{4}{3} = \frac{12}{5}$ है।

यदि वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $(r>0)$ की जीवा की लंबाई रेखा $y-2x=3$ के अनुदिश $r$ है,तो $r^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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