यदि रेखाएँ overrightarrow{r} = (hat{i} - hat{ | vedclass

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Question

(B) रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} - \hat{k})$ और $L_2: \overrightarrow{r} = (\alpha\hat{i} - \hat

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$\frac{2}{11}$

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(B) रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} - \hat{k})$ और $L_2: \overrightarrow{r} = (\alpha\hat{i} - \hat{j}) + \mu(2\hat{i} - 3\hat{k})$ हैं।चूँकि रेखाएँ समतलीय हैं,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:$\begin{vmatrix} \alpha - 1 & 0 & -1 \ 0 & 3 & -1 \ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0$सारणिक का विस्तार करने पर: $(\alpha - 1)(-9) - 0 + (-1)(0 - 6) = 0$$-9\alpha + 9 + 6 = 0 \Rightarrow 9\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$.समतल का अभिलंब सदिश $\overrightarrow{n} = (3\hat{j} - \hat{k}) 	imes (2\hat{i} - 3\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & 3 & -1 \ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = -9\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$.बिंदु $(1, -1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $-9(x - 1) + 2(y + 1) - 6(z - 1) = 0$ है,जो $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ में सरल हो जाता है।बिंदु $(\frac{5}{3}, 0, 0)$ से समतल $9x - 2y + 6z - 17 = 0$ की दूरी $d = \frac{|9(\frac{5}{3}) - 2(0) + 6(0) - 17|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{|15 - 17|}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{121}} = \frac{2}{11}$.

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यदि रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{-2}$ और समतल $x - 2y - kz = 3$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $\vec{r} = (2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

$c$ के किस मान के लिए रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$ वक्र $xy = c^2, z = 0$ को प्रतिच्छेद करती है?

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