यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{2-y}{-3}=\frac{z-3}{\alpha}$ और $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{\beta}$ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $8 \alpha \beta$ के न्यूनतम मान का परिमाण $...............$ है।

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 9 = 0$ के लंबवत रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, -5, 9)$ की समतल $x - y + z = 5$ से रेखा $x = y = z$ के अनुदिश मापी गई दूरी क्या है?

$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{CD} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ दो सदिश हैं। बिंदु $A$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $6\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ और $-9\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं। रेखा $AB$ पर एक बिंदु $P$ और रेखा $CD$ पर एक बिंदु $Q$ के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ताकि $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ दोनों के लंबवत हो।

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $x - y + 2z = 5$ तथा $3x + y + z = 6$ समतलों के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, -5, 9)$ की समतल $x - y + z = 5$ से रेखा $x = y = z$ की दिशा में मापी गई दूरी ज्ञात कीजिए।