यदि $(1 + x)^{18}$ के विस्तार में $(2r + 4)$ वें पद का शून्येतर गुणांक $(r - 2)$ वें पद के शून्येतर गुणांक से बड़ा है,तो $r$ के संभावित पूर्णांक मानों की संख्या है:

$n \in N$ के उन सभी संभावित मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(1+x^2)^2(1+x)^n$ के विस्तार में $x$, $x^2$ और $x^3$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं:

यदि $\binom{p}{q} = {}^{p}C_{q}$ और $\sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i} \binom{20}{m-i}$ अधिकतम है,तो $m=$

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए $A_n = \max \left\{ \binom{n}{r} \mid 0 \leq r \leq n \right\}$ है। तो,$n \in \{1, 2, \ldots, 20\}$ के उन तत्वों की संख्या क्या है जिनके लिए $1.9 \leq \frac{A_n}{A_{n-1}} \leq 2$ है?

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sqrt{3} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{20}$ के विस्तार में सबसे बड़ा पद क्या है?