यदि संक्रिया $ \oplus $ को सभी वास्तविक संख्याओं $ a $ और $ b $ के लिए $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $ (2 \oplus 3) \oplus 4 = $

मान लीजिए कि $^*$ पर $N$ में एक द्विआधारी संक्रिया $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। क्या $^*$ क्रमविनिमेय है?

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

$R - \{-1\}$ पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ जहाँ $a * b = \frac{a}{b+1}$ है,वह है:

मान लीजिए कि $^*$ $N$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया है जो $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}$ द्वारा परिभाषित है। क्या $^*$ क्रमविनिमेय है? क्या $^*$ साहचर्य है? क्या $N$ पर इस द्वि-आधारी संक्रिया के लिए कोई तत्समक अवयव मौजूद है?

दिखाइए कि योग और गुणन $R$ पर साहचर्य (associative) द्विआधारी संक्रियाएं हैं। हालांकि,घटाव $R$ पर साहचर्य नहीं है और भाग $R_*$ पर साहचर्य नहीं है।