यदि अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं। अतिपरवलय प

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(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं। अतिपरवलय पर स्थित किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से इन अनंतस्पर्शी तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ होता है। दिया गया है कि यह गुणनफल $\frac{36}{13}$ है,इसलिए $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{36}{13}$। उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ होता है। $e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ दिया गया है,इसलिए $e^2 = \frac{13}{9}$। अतः,$\frac{a^2 + b^2}{a^2} = \frac{13}{9}$,जिसका अर्थ है $9(a^2 + b^2) = 13a^2$,यानी $9b^2 = 4a^2$। इससे,$b^2 = \frac{4}{9}a^2$,यानी $b = \frac{2}{3}a$। $b^2 = \frac{4}{9}a^2$ को गुणनफल के समीकरण में रखने पर: $\frac{a^2 (\frac{4}{9}a^2)}{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \frac{36}{13}$। $\frac{\frac{4}{9}a^4}{\frac{13}{9}a^2} = \frac{36}{13} \implies \frac{4}{13}a^2 = \frac{36}{13} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$। अतः $b = \frac{2}{3}(3) = 2$। इसलिए,$a - b = 3 - 2 = 1$।

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