यदि एक यादृच्छिक चर X का परिसर {0, 1, 2, 3, 4 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$.हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $

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$\frac{4}{9}$

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(B) दिया गया है कि $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$.हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:$a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty ight) = 1 \quad \dots (i)$माना $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty$.तब $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \ldots \infty$.दोनों समीकरणों को घटाने पर:$S - \frac{1}{3}S = 1 + \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2} ight) + \ldots \infty$$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।$\frac{2}{3}S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.$S = \frac{3}{2} 	imes \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$.समीकरण $(i)$ से,$a 	imes S = 1 \implies a 	imes \frac{9}{4} = 1$.अतः,$a = \frac{4}{9}$.

$X = x$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$P(X = x)$	$0$	$k$	$2k$	$5k^2$	$2k^2$	$3k$

यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का परिसर $\{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$ है और $k \geq 0$ के लिए $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि निम्नलिखित फलन एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन है, $f(x) = kx^2(1 - x)$, $0 < x < 1$ के लिए और अन्यथा $f(x) = 0$, तो $k$ का मान है:

एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछालने पर प्राप्त चितों (heads) की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।

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