यदि एक G.P. (गुणोत्तर श्रेणी) के प्रथम तीन पद | vedclass

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Question

(A) $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है कि $\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$ है।सूत्र क

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$\frac{3}{5}$

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(A) $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है कि $\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$ है।सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{a(r^3 - 1)/(r - 1)}{a(r^6 - 1)/(r - 1)} = \frac{125}{152}$।इसे सरल करने पर $\frac{r^3 - 1}{r^6 - 1} = \frac{125}{152}$ प्राप्त होता है।चूंकि $r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)$,इसलिए $\frac{r^3 - 1}{(r^3 - 1)(r^3 + 1)} = \frac{125}{152}$।$\frac{1}{r^3 + 1} = \frac{125}{152}$।$r^3 + 1 = \frac{152}{125}$।$r^3 = \frac{152}{125} - 1 = \frac{152 - 125}{125} = \frac{27}{125}$।दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$r = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$।

यदि एक $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) के प्रथम तीन पदों का योग और प्रथम छह पदों के योग का अनुपात $125 : 152$ है,तो सार्व अनुपात $r$ है:

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$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{3{k^2} + 3k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^3}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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